Na czym w ogóle polega rzeczone twierdzenie? Aby je zobrazować, najlepiej posłużyć się porównaniem do imprezy. Ogólne założenie jest następujące: w grupie sześciu osób znajdą się co najmniej trzy osoby, które się znają lub trzy, które się nie znają. Z tego względu można założyć, że r(3,3) jest równe sześć.
Czytaj też: Układ okresowy dla matematyki? Powstaje coś, co doprowadzi do serii przełomów
Jak dodaje Jacques Verstraete z Uniwersytetu Kalifornijskiego w San Diego, nie ma znaczenia, jaka jest sytuacja bądź jaką 6-osobową grupę wybierzemy. Bez względu na to znajdziemy w niej trzy osoby, które się znają lub trzy, które się nie znają. Oczywiście niewykluczone, iż takich osób będzie więcej, ale istnieje minimalna liczba wynosząca trzy i odnosząca się do znajomych lub nieznajomych w danej grupie.
Gdy już matematycy wykazali, że r(3,3) = 6, to ich apetyty dodatkowo wzrosły. Nie zamierzali się zatrzymywać i chcieli poznać wyniki dla r(4,4), r(5,5) i r(4,t). W tym ostatnim przypadku liczba niepołączonych punktów jest zmienna. Rozwiązanie dla r(4,4) wynosi 18 i zostało wyznaczone dzięki dokonaniom Paula Erdösa i George’a Szekeresa w latach 30. ubiegłego wieku.
Twierdzenie Ramseya liczy około stu lat, a ostatni istotny postęp w badaniach nad nim nastąpił w latach 30. ubiegłego wieku
Niestety, r(5,5) okazało się znacznie większym wyzwaniem, a żeby zrozumieć, dlaczego tak było, wystarczy krótkie wyjaśnienie. W sytuacji, gdy wiemy, iż rozwiązanie tego równania mieści się na przykład w przedziale 40-50, to przy 45 punktach będziemy musieli wziąć pod uwagę ponad 10 tysięcy wykresów. Z tego względu, zamiast szukać dokładnego rozwiązania, Verstraete oraz jego współpracownik, Sam Mattheus, postanowili poszukać przybliżonej wartości.
Co istotne, w 2019 roku Verstraete, wraz z innym matematykiem, Dhruv Mubayim, rozwiązali wykres dla r(3,t). Później do badań dołączył Mattheus, który ma doświadczenie w geometrii skończonej. W takim składzie szanse naukowców na rozwiązanie zagadki zdecydowanie wzrosły. Jak się okazało, graf pseudolosowy potrzebny do osiągnięcia sukcesu można znaleźć w geometrii skończonej.
Czytaj też: Dlaczego w matematyce stosuje się symbol X?
Ostatecznie matematycy doszli do wniosku, że rozwiązanie dla r(4,t) jest bliskie funkcji sześciennej t. Z tego względu, chcąc zorganizować imprezę, na której zawsze będą cztery znające się osoby lub t osób, które się nie znają, będziemy musieli zaprosić około t do potęgi trzeciej osób. Oczywiście nie jest to dokładny wynik, ale sami zainteresowani są pewni, że taka wartość jest bliska prawdy. Jak na razie publikacja w tej sprawie ma formę preprintu, ale wkrótce powinna trafić na łamy Annals of Mathematics. W zależności od tego, jego dotychczasowe ustalenia zostaną przyjęte przez innych matematyków, będziemy mogli spodziewać się kontynuacji poszukiwań odpowiedzi na kolejne twierdzenia, takie jak r(5,5).
