Nowe narzędzie matematyczne
Sercem badań prowadzonych na Freie Universität Berlin jest koncepcja nazywana zasadą odbicia parkietowego. Opiera się ona na wielokrotnym odbijaniu figur geometrycznych tak, aby wypełnić nimi całą płaszczyznę bez pozostawiania przerw i bez nakładania się na siebie. Efektem są nie tylko hipnotyzująco symetryczne wzory. Metoda ta stanowi nowe, systematyzujące podejście do klasycznych problemów brzegowych, takich jak problem Dirichleta czy Neumanna, które od lat stanowią kamień milowy w fizyce matematycznej. Dzięki niej możliwe staje się wyprowadzanie jawnych wzorów dla tzw. funkcji jądra – Greena, Neumanna i Schwarza – które są kluczowe przy rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych.
Czytaj też: Drut kwantowy bez oporu. Fizycy stworzyli gaz łamiący zasady termodynamiki
Podczas gdy wcześniejsze badania nad teselacjami koncentrowały się głównie na tym, jak kształty mogą być używane do pokrywania powierzchni, na przykład, niektóre dobrze znane prace przeprowadzone przez laureata Nagrody Nobla, Sir Rogera Penrose’a, wykorzystanie metody odbicia parkietowego do generowania nowych teselacji otwiera nowe możliwości – wyjaśnia Heinrich Begehr z Freie Universität Berlin
Co ciekawe, zasada ta działa nie tylko w znanej ze szkoły geometrii euklidesowej, lecz również w geometriach hiperbolicznych. Te ostatnie znajdują zastosowanie w zaawansowanych modelach fizyki teoretycznej, na przykład przy wizualizacji zakrzywionej czasoprzestrzeni. Ta uniwersalność jest prawdopodobnie głównym powodem rosnącego zainteresowania metodą w środowisku akademickim.
Od geometrii euklidesowej do hiperbolicznej
Heinrich Begehr i jego zespół od blisko dwudziestu lat analizują tzw. berlińskie lustrzane pokrycia. Metoda ta wywodzi się z ujednoliconej zasady odbicia opracowanej przez XIX-wiecznego matematyka, Hermanna Amandusa Schwarza. Polega ona na wielokrotnym odbijaniu wielokąta kołowego aż do całkowitego pokrycia płaszczyzny. Szczególnie intrygujące są tu teselacje w przestrzeniach hiperbolicznych, które wykorzystują trójkąty Schweikarta. Te specyficzne figury geometryczne, nazwane na cześć Ferdinanda Kurta Schweikarta, posiadają jeden kąt prosty oraz dwa kąty zerowe. Pozwalają one na regularne i kompletne pokrycie dysku kołowego, dając w efekcie wzory o niezwykłych walorach wizualnych.
Matematycy musieli kiedyś używać trzyczęściowego lustra toaletowego, aby uzyskać nieskończoną sekwencję obrazów. Obecnie możemy używać iteracyjnych programów komputerowych do generowania tego samego efektu – i możemy to uzupełniać dokładnymi wzorami matematycznymi używanymi w analizie zespolonej – dodaje Begehr
Matematyka jako nauka wizualna
Prace berlińskich naukowców przypominają, iż matematyka ma głęboki wizualny wymiar, w którym struktura i symetria odgrywają rolę fundamentalną, a nie tylko ozdobną. To piękno nie jest tylko abstrakcyjne. Ma swoje przełożenie na efektywność rozwiązań. Badacze liczą, że ich odkrycia znajdą zastosowanie poza ścisłymi granicami matematyki teoretycznej. Wzory tworzone przez trójkąty Schweikarta, ze swoim wyjątkowym charakterem, mogą zainspirować projektantów czy architektów. Potencjalne ścieżki wykorzystania tej wiedzy prowadzą w stronę architektury, zaawansowanej grafiki komputerowej oraz rozwiązywania praktycznych zagadnień inżynieryjnych.
Czytaj też: Fizycy stworzyli coś, co według matematyki nie powinno istnieć. Termowizory nagle przestały pokazywać prawdę
Mamy nadzieję, że nasze wyniki znajdą oddźwięk nie tylko w czystej matematyce i fizyce matematycznej, ale mogą nawet inspirować pomysły w dziedzinach takich jak architektura czy grafika komputerowa- podsumowuje Dajiang Wang
Przedstawione przez berlińczyków podejście jest przykładem na to, jak pozornie czysta abstrakcja może znaleźć zaskakująco konkretne zastosowania. Łączy ono w sobie graficzną elegancję z analityczną ścisłością, zacierając granicę między sztuką a nauką. W erze rosnącego znaczenia współpracy między dyscyplinami, takie badania mogą wskazywać zupełnie nowe, nieoczywiste kierunki rozwoju. Pozostaje jednak pytanie, jak szybko i na jaką skalę te teorie przełożą się na praktyczne narzędzia.