Czym właściwie jest błądzenie losowe?
Aby zrozumieć sedno sprawy, warto najpierw wyjaśnić samą koncepcję. Błądzenie losowe to matematyczny opis ścieżki powstającej poprzez szereg przypadkowych wyborów. Można to porównać do spaceru, na każdym skrzyżowaniu którego kierunek obieramy przez rzut monetą. Proste? Tylko z pozoru. Ta abstrakcyjna idea ma niezwykle konkretne zastosowania. Biolodzy używają jej do symulowania tras, jakimi poruszają się zwierzęta szukające pożywienia. Fizycy modelują w ten sposób ruch cząstek w gazie czy cieczy. Z kolei w świecie gier komputerowych algorytmy oparte na błądzeniu losowym odpowiadają za generowanie nieprzewidywalnych lochów i krajobrazów. W związku z tym każdy, kto kiedykolwiek eksplorował światy Minecrafta czy Diablo, zetknął się z efektami ich działania.
Czytaj też: To, co dzieje się w pianie, przypomina głębokie uczenie maszynowe. Matematyka jest niemal identyczna
Sercem całego problemu było właśnie to zjawisko „pamięci”. W pewnych systemach dwie niezależne, losowe ścieżki, które zaczęły w różnych miejscach, nigdy się ze sobą nie spotkają. To tak, jakby każda z nich uparcie trzymała się swojej odrębnej historii. W innych systemach ścieżki te ostatecznie zawsze się zbiegną, zatracając wszelkie ślady swojego odmiennego początku. Omer Tamuz tłumaczy to przez socjologiczną analogię:
Wyobraź sobie dwa społeczeństwa – jedno dokonuje postępu technologicznego, podczas gdy drugie cierpi z powodu klęski żywiołowej. Czy te różnice utrzymają się na zawsze, czy w końcu znikną i zapomnimy, że kiedyś jedna strona miała przewagę? W błądzeniu losowym od dawna wiadomo, że istnieją grupy mające tę pamięć, podczas gdy w innych grupach pamięć jest wymazywana. Ale nie było jasne, które grupy mają tę właściwość, a które nie – czyli co sprawia, że grupa ma pamięć? To właśnie odkryliśmy.
Geometryczny klucz do algebraicznej zagadki
Odpowiedź przyszła z połączenia sił. Zespół z Kalifornijskiego Instytutu Technicznego i Uniwersytetu Ben-Guriona w Izraelu sięgnął po narzędzia z dwóch różnych działów matematyki: algebry i geometrii. Okazało się, że to, czy dane błądzenie zachowa pamięć, można przewidzieć na podstawie spełnienia konkretnych warunków geometrycznych. Mówiąc najprościej, badacze zidentyfikowali regułę z pogranicza geometrii wektorowej, która jednoznacznie określa, które systemy „zapomną” swoją przeszłość.
Czytaj też: Stuletni problem matematyczny rozwiązany w mgnieniu oka. Naukowcy nie wierzą własnym oczom
To połączenie teorii prawdopodobieństwa z teorią ergodyczną okazało się strzałem w dziesiątkę i pokazuje trend we współczesnej matematyce, gdzie najciekawsze wyniki rodzą się na styku dyscyplin. Czego teraz oczekiwać? Można się spodziewać, iż głębsze zrozumienie mechanizmów błądzenia losowego wpłynie z czasem na udoskonalenie algorytmów w informatyce, na przykład w dziedzinie symulacji czy uczenia maszynowego. Może też doprecyzować modele stosowane w fizyce statystycznej lub ekologii.