Po co nam liczba Pi i dlaczego nie jest idealna?
π przenika niemal każdą dziedzinę techniki i nauki: od geometrii i mechaniki falowej, przez przetwarzanie sygnałów i obrazów, po optykę, akustykę, aerodynamikę, kryptografię i metrologię. Pojawia się w całkach, szeregach Fouriera, równaniach opisujących drgania, rozchodzenie się ciepła i światła, w statystyce oraz w modelach cząstek elementarnych. Innymi słowy, bez dobrej liczby Pi nie ma precyzyjnych obliczeń ani wiarygodnych symulacji, a więc sporej części nauki, jaką znamy.
Czytaj też: Lżejsza niż stal, wytrzymalsza niż tradycyjne metale. To nie prototyp a realny przełom inżynierii!
Problem w tym, że π jest liczbą niewymierną i przestępną. Jej rozwinięcie dziesiętne nie kończy się i nie tworzy żadnego wzoru, który można by “skompresować”. Komputery muszą więc pracować na przybliżeniach. Dla zadań szkolnych wystarczy kilka miejsc po przecinku, ale w fizyce wysokich energii, kosmologii czy tomografii medycznej margines błędu potrafi zadecydować o wyniku. Każda dodatkowa cyfra dokładności to realny koszt, bo więcej czasu pracy klastra, większe zużycie energii i wyższe obciążenie pamięci.
Nie wystarczy zatem “znać więcej cyfr”, bo w praktyce liczy się również to, jak szybko i stabilnie można do tych cyfr dojść. Kluczowe są metody, które dostarczają dużo dokładności na małej liczbie kroków obliczeniowych, a jednocześnie dobrze znoszą sumowanie wielu składników bez gromadzenia błędów zaokrągleń. Dlatego badacze szukają reprezentacji π, które zbliżają się do prawdziwej wartości szybciej niż klasyczne wzory i nie wymagają przechowywania milionów cyfr. Dochodzi do tego jeszcze kwestia propagacji błędu. π wchodzi do wzorów jako stała, ale błąd w jej przybliżeniu wędruje dalej przez całe obliczenie.
Podsumowując: π jest niezbędna, ale jej “nieskończoność” bywa kłopotliwa. Dlatego celem nie jest samo bicie rekordów liczby cyfr, lecz znalezienie takich sposobów zapisu i liczenia π, które dają szybki przyrost dokładności, ograniczają błędy numeryczne i pozwalają realnie skrócić czas obliczeń w zadaniach, gdzie precyzja naprawdę ma znaczenie.
Nowa, kwantowa reprezentacja liczby Pi
Podczas rutynowych prac nad teorią strun fizycy z Indian Institute of Science natrafili na coś nieoczekiwanego. Nowa kwantowa reprezentacja liczby Pi pojawiła się niemal przypadkowo jako efekt uboczny badań nad interakcjami cząstek o wysokiej energii. Zespół pod kierunkiem profesora Anindy Sinhy początkowo skupiał się na stworzeniu prostszego modelu opisującego zderzenia protonów w Wielkim Zderzaczu Hadronów. W tym osiągnięciu kluczowe okazało się połączenie dwóch pozornie odległych narzędzi matematycznych.
Diagramy Feynmana, które graficznie przedstawiają wymianę energii między zderzającymi się cząstkami, połączono z funkcjami beta Eulera, a więc narzędziem stosowanym w różnych dziedzinach fizyki, od inżynierii po uczenie maszynowe. Kiedy zespół scalił te elementy w ramach teorii strun, otrzymał nie tylko efektywny model interakcji cząstek, ale również nieoczekiwany matematyczny bonus. Efekt? Szereg matematyczny, który osiąga wartość Pi przy znacznie mniejszej liczbie wyrazów niż wcześniejsze metody. Co ciekawe, nowa formuła wykazuje uderzające podobieństwo do reprezentacji Pi opracowanej w XV wieku przez indyjskiego matematyka Sangamagramę Madhavę, który jako pierwszy w historii zastosował szereg nieskończony do obliczania tej stałej.
Historyczny kontekst dodaje smaku całemu odkryciu. Podobny kierunek badań był rozważany już na początku lat 70. ubiegłego wieku, ale wtedy ówczesna technologia nie była w stanie sprostać złożoności obliczeniowej. Dopiero rozwój współczesnych narzędzi matematycznych i teoretycznych umożliwił zespołowi Sinhy powrót do tej koncepcji i doprowadzenie jej do udanego finału.
Co teraz z liczbą Pi?
Nowa metoda oferuje istotne korzyści w zakresie optymalizacji, bo znacząco redukuje złożoność obliczeń przy jednoczesnym zachowaniu wysokiej dokładności. To szczególnie ważne przy modelowaniu procesów kwantowych, gdzie każda dodatkowa cyfra precyzji tradycyjnie wymagała ogromnych nakładów mocy obliczeniowej. Można naturalnie zapytać, czy to odkrycie ma jakiekolwiek praktyczne znaczenie poza akademickimi rozważaniami, ale sami badacze przyznają, że praca dostarcza przede wszystkim intelektualnej satysfakcji z uprawiania teorii dla samej teorii. Jednak historia nauki wielokrotnie pokazywała, że najbardziej abstrakcyjne odkrycia często znajdują nieprzewidziane zastosowania.
Czytaj też: Marsjański łazik uwiecznił dziwny obiekt na niebie. Pochodzi spoza Układu Słonecznego
Nowa reprezentacja Pi może w przyszłości znaleźć zastosowanie nie tylko w fizyce wysokich energii, ale także w innych dziedzinach wymagających precyzyjnych obliczeń. Już teraz ułatwia naukowcom pracę z procesami takimi jak kwantowe rozpraszanie cząstek, gdzie dokładność ma fundamentalne znaczenie dla zrozumienia natury materii.